Tachas 651 • Cantor • Gustavo Piñeiro
Introducción
Cuando contemplamos el cielo en una noche estrellada y sin Luna, lejos de la interferencia de las luces de la ciudad, y nos sentimos maravillados por el espectáculo sobrecogedor que se despliega ante nosotros, en ese mismo momento desde lo más profundo de nuestro ser nace un sentimiento que nos abruma con la idea de lo pequeños que somos comparados con el infinito.
El infinito no es solo una sofisticada idea matemática; la dualidad entre lo infinito, palabra que literalmente significa «aquello que jamás termina», y su opuesto, lo finito, lo que sí acaba alguna vez, ha acompañado a la humanidad probablemente desde que el primer Homo sapiens se preguntó si el cielo termina alguna vez, si se puede llegar hasta el horizonte, o si nuestra vida realmente termina o si de alguna manera puede seguir indefinidamente.
Pero el infinito también es vértigo y, según el filósofo griego Zenón de Elea, hasta puede inmovilizar al universo; veamos qué queremos decir con esta idea. En el siglo VI a. C., Parménides de Elea —según muchos autores, el padre de la metafísica occidental— postuló la existencia del ser. La característica fundamental del ser, según Parménides, es, justamente, la de existir: el ser existe, el ser es.
De esta premisa Parménides dedujo que el ser abarca todo el universo, porque si hubiera aunque sea alguna pequeña región de este donde el ser no estuviera, en esa región el ser no existiría; pero decir que el ser no existe es una contradicción de términos, es imposible. El ser, entonces, ocupa todo el universo; en otras palabras, el universo entero, nosotros incluidos, constituye el ser. Pero además, el ser es inmutable, no puede cambiar, porque si pasara, digamos, de un estado A a un estado B, entonces dejaría de existir en el estado A, y eso es imposible, porque el ser no puede dejar de existir. El ser es, en consecuencia, todo el universo, y es inmutable; por lo tanto, el universo es inmutable. Esto significa que el cambio y el movimiento que creemos ver a nuestro alrededor en realidad no existen; el tiempo no existe, en el ser no hay pasado ni futuro, solamente hay ahora.
Zenón, discípulo de Parménides, planteó una serie de razonamientos, conocidos como las paradojas de Zenón, con los que intentó demostrar, en respaldo de las ideas de su maestro, que el cambio y el movimiento no existen, que lo que creemos ver no es más que un engaño de los sentidos, y que la mente y la razón, guiadas por la lógica, son capaces de demostrar este hecho.
Todas las paradojas de Zenón involucran el infinito de algún modo; una de ellas dice que si arrojamos una piedra hacia un árbol que está a un metro de distancia delante de nosotros, entonces, contrariamente a lo que la vista parece mostrarnos, la piedra jamás llega al árbol; de hecho, jamás abandona nuestra mano.
Para demostrarlo, Zenón decía que antes de llegar al árbol la piedra debe recorrer primero medio metro; pero antes de eso, debe recorrer un cuarto de metro; y antes debe recorrer un octavo de metro; y antes, un dieciseisavo de metro; y así sucesivamente. En realidad, para llegar al árbol la piedra debe completar una cantidad infinita de pasos previos, pero es imposible completar infinitos pasos en un tiempo finito; por lo tanto, deduce Zenón, la piedra jamás llega al árbol. Más aún, el mismo razonamiento que hemos hecho para una distancia de un metro, vale también para el primer milímetro o la primera milésima de milímetro; por lo que la piedra, en realidad, tal como dijimos antes, nunca abandona nuestra mano. El infinito, como se ha expuesto, permite demostrar, según Zenón, que el universo es inmutable.
En el siglo IV a. C., Aristóteles —el padre del estudio sistemático de la lógica y tal vez de la ciencia en general— escribió su Física, un tratado que contiene, entre otras cuestiones, un estudio del movimiento de los cuerpos; pero, desde luego, antes de estudiar el movimiento Aristóteles debía demostrar que ese movimiento realmente existe; es decir, debía refutar los argumentos de Parménides y de Zenón.
Si el ser esencialmente es, ¿cómo puede entonces cambiar de estado, cómo puede dejar de ser algo? Aristóteles dice que el ser es, en efecto, pero que a veces es en potencia y a veces es en acto. Cuando un niño crece y se transforma en adulto, no es que deje de ser un niño, sino que siendo niño era un adulto en potencia y al crecer pasa a ser un adulto en acto. Es decir, muta del estado de ser un adulto en potencia, al estado de ser un adulto en acto; el niño cambió, pero nunca dejó de ser. Una semilla es una planta en potencia, una hoja en blanco es un texto en potencia, y así sucesivamente. Siglos más tarde, Miguel Ángel expresaría una idea similar al decir que la escultura ya existía en el bloque de mármol y que él se limitaba a quitar lo que sobraba. Aristóteles reconcilia de esta manera la idea del ser de Parménides con la posibilidad del cambio.
Demostrado que el ser puede mutar, ¿cómo se refutan los argumentos de Zenón? Todas las paradojas de Zenón suponen que el espacio o el tiempo son infinitamente divisibles. En la paradoja del árbol, por ejemplo, hay infinitos pasos en el espacio que media entre la mano y el árbol. Para refutar estos argumentos, Aristóteles afirmó que el infinito no existe; o, mejor dicho, que existe, pero solamente en potencia, nunca en acto. Infinito en potencia refiere a una cantidad que puede crecer tanto como se quiera, pero que todo el tiempo es finita; infinito en acto es una cantidad que, de hecho, es infinita. Esta distinción es muy importante a la hora de pensar el infinito y volveremos varias veces a ella a lo largo de esta obra.
Podemos admitir —dice Aristóteles— la existencia de cantidades que crecen indefinidamente, pero que son finitas todo el tiempo; sin embargo, no podemos admitir la existencia de cantidades infinitas de hecho. Podemos dividir la distancia entre la mano y el árbol en diez partes, o en cien, o en mil, o en cualquier cantidad finita tan grande como queramos, pero no podemos asumir que está dividida en una cantidad de partes que sea de hecho infinita.
Aristóteles no se limitó a postular la inexistencia del infinito en acto, sino que dio una serie de argumentos para sustentar esta afirmación; como los argumentos de Aristóteles serán analizados a lo largo de este libro, no los comentaremos aquí. Sin embargo, sí diremos que el rechazo aristotélico al infinito en acto marcó durante más de dos mil años la ortodoxia del pensamiento occidental; y, además de la fuerza de los argumentos de Aristóteles, muy probablemente este dominio estuvo favorecido también por dos circunstancias.
La primera es que la mente humana es incapaz de representarse una imagen del infinito en acto, por lo que resulta muy fácil aceptar que en realidad no existe. En efecto, sí podemos concebir, quizá, el infinito en potencia, podemos pensar en una cantidad que crece ilimitadamente; pero, insistimos, no el infinito en acto. ¿Qué sería representarse, por ejemplo, la imagen de una recta cuya longitud es infinita en acto? Sería pensar en una línea completa (es decir, lo que «vemos» con la mente no debería ser solo un fragmento) cuya longitud es de hecho infinita. Pero la mente no puede abarcar esa imagen; sí podemos pensar en una línea que se pierde en el horizonte y decirnos que sigue indefinidamente, pero en realidad estaríamos «viendo» una recta infinita en potencia, ya que nuestra «vista» solo abarca una parte. O pensemos en los números 0, 1, 2, 3, 4, 5…; visualizarlos como un infinito en acto sería pensarlos escritos todos juntos en una lista, todos sin excepción, una lista que está completa, pero que a la vez nunca termina, una imagen inabarcable para nuestra mente finita.
El segundo motivo por el que el rechazo aristotélico al infinito en acto resultó convincente es que, al razonar a partir del infinito, parece casi inevitable caer en contradicciones lógicas o en conclusiones extrañas que son contrarias al sentido común; como en el caso de Zenón, a quien el infinito le permitió demostrar la inexistencia del cambio y del movimiento. Otro ejemplo lo tenemos en el siglo XVII, cuando Galileo Galilei se encontró también con contradicciones que lo llevarían a rechazar la idea del infinito en acto; en el siglo XIX, por su parte, el matemático checo Bernard Bolzano intentó desarrollar una teoría del infinito matemático, pero también se encontró con paradojas que no supo resolver satisfactoriamente; estos dos casos serán comentados a lo largo del presente libro.
Es cierto que hubo algunas discrepancias con respecto al pensamiento aristotélico; por ejemplo, en el siglo I d. C., el filósofo y poeta romano Lucrecio, en su poema didáctico De rerum natura (Sobre la naturaleza de las cosas), argumentó que el universo debe ser infinito; en caso contrario — dice Lucrecio—, tendría una frontera, y si arrojáramos un objeto hacia esa frontera con la suficiente fuerza como para atravesarla, entonces ese objeto pasaría a existir fuera del universo; pero es imposible porque, por definición, nada puede existir fuera del universo. Hoy sabemos, sin embargo, que el argumento de Lucrecio es falaz, que el universo puede ser finito sin tener una frontera, de la misma manera que la superficie de una esfera es finita, pero sin tener una frontera. De hecho, según las modernas teorías cosmológicas, es muy probable que el universo en su conjunto sea finito. Pero las disidencias fueron escasas y aisladas, y el pensamiento aristotélico sobre el infinito, como dijimos antes, dominó en la filosofía y también en las matemáticas; al menos hasta la década de 1870. En esa época, el matemático ruso-alemán Georg Cantor se vio llevado por la lógica de sus investigaciones, casi contra su voluntad según sus propias palabras, a introducir en las matemáticas el estudio del infinito en acto. La tarea no fue fácil, no solo por las dificultades que ella conlleva, sino también por la dura oposición que encontró entre muchos de sus colegas; no era fácil romper con una tradición de milenios y Cantor llegó a ser tratado de «científico charlatán» y «corruptor de la juventud». Sin embargo, Cantor no se detuvo, e impulsado por la convicción de que una teoría matemática del infinito era posible, y hasta necesaria, y guiado por una lógica inflexible, desarrolló una de las teorías más asombrosas que hoy se conocen; pero abrió además la posibilidad de un modo nuevo de pensar a las matemáticas en su conjunto, un modo más libre y potente.
Uno de los conceptos más originales que introdujo Cantor es el de los ordinales; la teoría de los ordinales será comentada en las siguientes páginas, por lo que no entraremos aquí en sus detalles; basta decir que se trata, esencialmente, de números que permiten contar más allá del infinito. Después de los infinitos números 0, 1, 2, 3, 4, 5,… —dice Cantor—, viene el número infinito (es decir, el ordinal) ω, el símbolo es la letra griega omega minúscula; luego vienen ω + 1, ω + 2, ω + 3…; y después de esta nueva serie de infinitos ordinales viene ω + ω, y luego ω + ω + 1, ω + ω + 2…; y así sucesivamente.
Pero, ¿es lícito inventar números así como así? ¿Qué representa ese «número» ω? Hasta el siglo XIX, todos los conceptos con los que trabajaban los matemáticos estaban fuertemente ligados a problemas que podemos llamar «concretos», a situaciones que podían ser visualizadas o asociadas con hechos reales; como la descripción de fenómenos físicos, el estudio de las propiedades de los objetos geométricos, o las propiedades de las cantidades finitas (1, 2, 3, 4…). El número 0, por ejemplo, que representa una «cantidad que no es», debió esperar muchos siglos antes de ser reconocido como un número de pleno derecho; otro tanto puede decirse de los números negativos, cuya existencia, por ejemplo, era todavía rechazada por Leibniz, en una fecha tan cercana como principios del siglo XVIII. Los números, en general, solo eran aceptados si representaban, de algún modo, una cantidad que pudiera visualizarse de manera concreta.
El número ω representa una cantidad infinita en acto, no representa ningún objeto concreto ni ningún fenómeno físico, ni puede visualizarse más que con los ojos de la mente. Pero Cantor, con su pensamiento riguroso, nos obligó a aceptarlo como existente, y su modo de entender las matemáticas debió cambiar para adaptarse a este hecho. Es así como, hoy en día, ya no se exige a los objetos matemáticos que tengan un correlato real o que sean la representación de un fenómeno concreto; solo se les pide coherencia lógica, y dentro de esa única exigencia los matemáticos actuales son libres de crear, estudiar, manipular y analizar conceptos, ideas y teorías.
La esencia de las matemáticas cambió después de Cantor, y él mismo hubiera visto con enorme satisfacción este nuevo estado de cosas, estado en el que los matemáticos pueden crear libremente teorías y conceptos. Podemos afirmar que Cantor lo hubiera visto con satisfacción, porque fue él quien dijo que las matemáticas puras debían ser llamadas con más propiedad matemáticas libres, porque, según sus propias palabras, «la esencia de la matemática radica precisamente en su libertad».
Texto cedido para promoción por los editores del libro Cantor. El infinito en matemáticas. Gustavo Piñeiro. 2005. Editorial RBA.
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Gustavo Piñeiro (Buenos Aires, 1966) es un matemático y escritor argentino. Licenciado en Matemáticas, graduado en la Universidad de Buenos Aires en 1992. Actualmente trabaja como docente en instituciones de nivel terciario y universitario, y desde hace varios años participa en la redacción de libros de texto para el nivel medio. También colabora habitualmente, tanto en revistas de divulgación científica como en otras dedicadas a los juegos de lógica e ingenio. En 2009, junto a Guillermo Martínez, publica Gödel ∀ (para todos).
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